Бесплатная горячая линия

8 800 700-88-16
Главная - Другое - Правила в пределах

Правила в пределах

Правила в пределах

Применение замены переменной

Если функцию можно представить в виде сложной: , то можно попытаться упростить процесс вычисления предела , выполняя замену переменной. Для этого мы вычисляем предел . Здесь может быть конечным числом , либо одним из символов: .

Если является конечным числом и функция непрерывна в точке , то . Если функция не является непрерывной в , то мы должны вычислить предел . Если он существует, и при этом существует такая окрестность точки , на которой при , то существует исходный предел .

См. Например, , .

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):absolute(x) Абсолютное значение x (модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от xarccosh(x) Арккосинус гиперболический от xarcsin(x) Арксинус от xarcsinh(x) Арксинус гиперболический от xarctg(x) Функция — арктангенс от xarctgh(x) Арктангенс гиперболический от xee число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — «Пи», которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от xcos(x) Функция — Косинус от xsinh(x) Функция — Синус гиперболический от xcosh(x) Функция — Косинус гиперболический от xsqrt(x) Функция — квадратный корень из xsqr(x) или x^2 Функция — Квадрат xtg(x) Функция — Тангенс от xtgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от xcbrt(x) Функция — кубический корень из xВ выражениях можно применять следующие операции:Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,52*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Другие функции:floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак xerf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа

Введите функцию и точку, для которых надо вычислить предел

Сайт предоставляет ПОДРОБНОЕ решение по нахождению предела функции.

  1. ((1+x)^5-(1+5*x))/(x^2+x^5)
    • ((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
  2. (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
  3. +oo
  4. (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/(5*x-1)^5
  5. (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
    • +oo
    • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
    • ((1+x)^5-(1+5*x))/(x^2+x^5)
    • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
  6. (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
  7. ((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
  8. ( sinh(x) )^2 / ln( cosh(3*x) )
  9. 1
    • +oo
    • (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/(5*x-1)^5
    • ( sinh(x) )^2 / ln( cosh(3*x) )
    • 1
    • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
    • ( cos(x*e^x) — cos(x*e^(-x)) )/x^3
  10. ( cos(x*e^x) — cos(x*e^(-x)) )/x^3
  11. +oo

Займемся вычислением (решением) пределов функций в точке.

Дана функция f(x). Вычислим ее предел в точке x0. Для примера, находит предел функции в нуле и предел на бесконечности.

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий.

В таком случае нужное правило можно записать так: Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо. Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Условие: вычислите, сколько будет 5+(7−2·3)·(6−4):2. Решение В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3.

Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7: 7−2·3=7−6=1 Считаем результат во вторых скобках.

Там у нас всего одно действие: 6−4=2. Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим: 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5+(7−2·3)·(6−4):2=6. Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу. Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).

Решение У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3.

Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.

Ответ: 4+(3+1+4·(2+3))=28. Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках.

Поскольку 4−6:2=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.

Правила вычисления пределов

Стр 2 из 9 При вычислении пределов следует учитывать следующие основные правила: 1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов слагаемых:

.

2. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей:

. 3. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

. 5. Предел постоянной равен самой постоянной:

.

6. Для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами:

. Нахождение предела функции

следует начинать с подстановки значения

в выражение для функции.

При этом если получается числовое значение 0 или ¥, то искомый предел найден.

Пример 2.1.Вычислить предел

.

Решение.

. Выражения вида

,

,

,

,

,

называются неопределённостями. Если получается неопределенность вида

, то для нахождения предела нужно преобразовать функцию так, чтобы раскрыть эту неопределенность.

Неопределенность вида

обычно получается, когда задан предел отношения двух многочленов. В этом случае, для вычисления предела рекомендуется разложить многочлены на множители и сократить на общий множитель.

Этот множитель равен нулю при предельном значении х. Пример 2.2.Вычислить предел

.

Решение. Подставляя

, получим неопределенность:

. Разложим числитель и знаменатель на множители:

; Сократим на общий множитель

и получим

.

Неопределенность вида

получается, когда задан предел отношения двух многочленов при

. В этом случае для вычисления рекомендуется разделить оба многочлена на х в старшей степени. Пример 2.3. Вычислить предел

.

Решение.При подстановке ∞ получается неопределенность вида , поэтому разделим все члены выражения на x3.

.

Здесь учитывается, что

. При вычислении пределов функции, содержащей корни, рекомендуется умножить и разделить функцию на сопряженное выражение. Пример 2.4.Вычислить предел

Решение.

При вычислении пределов для раскрытия неопределенности вида или (1)∞ часто используются первый и второй замечательные пределы:

и

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно.

Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден.

ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед.

Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода.

По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода — в 150 × 1,5 = 225 (ден.

ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3)3 »237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д.

Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится: 100 × (1 +1/10)10 » 259 (ден. ед.), 100 × (1+1/100)100 » 270 (ден. ед.), 100 × (1+1/1000)1000 » 271 (ден.

ед.). При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271.

Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что Пример 2.5.Вычислить предел функции

Решение. Пример 2.6.Вычислить предел функции

.

Решение.Подставляя

получим неопределенность:

. Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение: В результате получаем Здесь учитывается второй замечательный предел .

Пример 2.7.Вычислить предел функции

Решение.

. Для раскрытия неопределенности вида или можно использовать правило Лопиталя, которое основано на следующей теореме.

Теорема.Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных Заметим, что это правило можно применять несколько раз подряд.

Пример 2.8. Найти

Решение.При подстановке

, имеем неопределенность вида .

Применяя правило Лопиталя, получим Непрерывность функции Важным свойством функции является непрерывность. Определение.Функция считается непрерывной, если малое изменение значения аргумента влечет за собой малое изменение значения функции.

Математически это записывается так: при

Под

и

понимается приращение переменных, то есть разность между последующим и предыдущим значениями:

,

(рисунок 2.3)

Рисунок 2.3 – Приращение переменных Из определения функции

, непрерывной в точке

, следует, что

. Это равенство означает выполнение трех условий: 1) функция определена в точке и ее окрестности функция ; 2) функция имеет предел при

или, что равносильно, существуют и равны односторонние пределы

и

; 3) предел функции при равен значению функции в точке . Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то точку называют точкой разрыва функции.

Выделяют следующие типы точек разрыва. 1) Если в точке разрыва существуют односторонние конечные пределы функции, то называют точкой разрыва первого рода.

При этом если односторонние пределы совпадают, то называют точкой устранимого разрыва первого рода, если односторонние пределы не совпадают, то называют точкой конечного разрыва первого рода (или точкой скачка) 2) Если в точке хотя бы один из односторонних пределов функции не существует или бесконечен, то называют точкой разрыва второго рода. Пример 2.9.Найти точки разрыва функции: Решение.Для функции точка

является подозрительной на разрыв, проверим это, найдем односторонние пределы

Следовательно,

, значит — точка устранимого разрыва Производная функции 2Рекомендуемые страницы: | |

Рекомендуем прочесть:  Скольуо дкйсивует выписка егрн

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел: Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе.

Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится? Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю.

Тогда решение предела: Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени. Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правило Лопиталя.

Формулировки теорем

Здесь мы приводим формулировки теорем, на которых основывается раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Теорема о раскрытии неопределенности 0/0 Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки , причем и не равны нулю в этой окрестности.

И пусть . Тогда, если существует конечный или бесконечный предел , то существует равный ему предел . Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Теорема о раскрытии неопределенности ∞/∞ Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки , причем не равна нулю в этой окрестности. И пусть . Тогда, если существует конечный или бесконечный предел , то существует равный ему предел .

Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Практика. Математика. Пределы (lim). Раскрытие неопределённости (0/0).

Продолжаем наш цикл занятий связанный с пределами. На сегодня мы будем раскрывать новый вид неопределённости ноль делённый на ноль.

В обычной алгебре с нулём как вы уже знаете работают очень аккуратно, стараются как можно реже иметь с ним дело, а про бесконечности там всякие я уже молчу.

Но в теории пределов этих ребят совсем не боятся. Только если получается ноль на ноль, то всё, тут обычная арифметика уже бессильна, поэтому математики нашли различного рода обходные пути решения этой проблемы. С которыми мы сейчас познакомимся.1.

Пожалуй проще способа не найти, будет ясно даже чайнику, жаль что использовать его получится не везде. метод заключается в разложении числителя и/или знаменателя по формулам сокращённого умножения. Не будем копошиться в теории, сразу рассмотрим на примере, решение распишем сразу.Хорошо, хорошо, уговорили, ещё один примерчик на закрепление.С «мелюзгой» можно побаловаться, но нам не стоит стопориться на этом, едем дальше.2.

И пяти минут не прошло, а мы разбираемся со вторым методом. Он предназначен для пределов с иррациональностями, проще говоря, там, где присутствуют квадратные корни или кубические, вообще корни любой степени. Распознать примеры такого плана совсем не сложно.

Видите иррациональность, считайте что всё, нашли. Устраняется она путём умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение.

Рассмотрим первый примерчик.С первого примера уже что-то да стало понятно. Но чтобы наверняка, стоит и второй бахнуть.Вот так-то лучше.3.

Последний рассмотренный на сегодня (есть ещё правило Лопиталя (ссылочка будет в конце статьи)) способ устранения неопределённости связан с табличкой эквивалентных величин. Представим её здесь:Использовать её очень просто, если видите функцию определённого вида как в табличке, то можете смело заменить эквивалентную ей.

Работает это только при произведении и делении двух функций.

При вычитании и сложении уже нельзя. Приведём пример:Оказалось не так сложно, как предполагалось ранее. При таком раскладе, можно и второй пример рассмотреть.На сегодня задачек достаточно, что-то мы сегодня «в ударе».

Подводя общие итоги занятия, имеет место сказать, что раскрывать неопределённость ноль на ноль гораздо интереснее.

Ну и примерчики всевозможные могут попасться, объединяющие в себе сразу несколько методов решения. Оставляйте в комментариях какую тематику стоит добавить на канале, какие темы разобрать. Спасибо за внимание.Другие темы:

Выводы

В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:

  • Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.
  • Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.
  • Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.

Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего?

Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций.

Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела: Допустим, есть некоторая переменная величина.

Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины. Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а.

Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто: Lim — от английского limit — предел. Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел. Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию.

Получим: Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему. В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность.

Вот пример, когда х стремится к бесконечности: Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция.

Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю. Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х.

Однако это самый простой случай.

Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Правило Лопиталя: теория и примеры решений

Производная от функции недалеко падает, а в случае правил Лопиталя она падает точно туда же, куда падает исходная функция. Это обстоятельство помогает в раскрытии неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций.

Вычисление значительно упрощается с помощью этого правила (на самом деле двух правил и замечаний к ним):

. Как показывает формула выше, при вычислении предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к более точным формулировкам правил Лопиталя. Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная функции g(x) не равна нулю (g'(x)≠0) и пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю:

.

Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных: . Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a.

А в самой точке a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная функции g(x) не равна нулю (g'(x)≠0) и пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности:

. Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных: .

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный, то есть равный определённому числу, или бесконечный, то есть равный бесконечности). Замечания. 1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a. 2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞). К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов. Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя: Решение.

Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0.

Поэтому производную каждой функции и получаем В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе — . Перед последним знаком равенства вычисляли обычный , подставляя вместо икса двойку. Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем: Пример 3.

Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

. Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем: Пример 4.

Вычислить

. Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя: Замечание.

Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

. Решение. Находим Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

Пример 6. Вычислить

. Решение. Находим Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0. Пример 7. Вычислить

.

Решение. Находим Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида — ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0. Пример 8. Вычислить

. Решение. Находим Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Пример 9. Вычислить

. Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений под знаком предела.

. Пример 10. Вычислить

. Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды. . Пример 11. Вычислить

.

Решение. Получаем (здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как а затем применили правила Лопиталя). Пример 12. Вычислить

.

Решение. Получаем В этом примере использовано тригонометрическое тождество

. Неопределённости вида

,

или

обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество

, частным случаем которого является

и свойство логарифма

.

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом: Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень. Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем Вычисляем предел выражения в показателе степени

. Итак,

. Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем Вычисляем предел выражения в показателе степени

. Итак,

.

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

. Решение. Получаем Вычисляем предел выражения в показателе степени Итак,

. Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости «бесконечность минус бесконечность»:

.

Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом: В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.

Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

. Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем Пример 17.

Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

. Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем Весь блок «Производная»

Введите функцию и точку для предела, которому надо применить правило Лопиталя

Вычислим предел функции с помощью правила Лопиталя.

Вы введёте функцию, для которой требуется вычислить предел и точку в которой предел должен сходиться.

    • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
  1. (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
  2. ((1+x)^5-(1+5*x))/(x^2+x^5)
    • ((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
  3. (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
  4. (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
    • 1
    • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
    • ( sinh(x) )^2 / ln( cosh(3*x) )
    • +oo
    • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
  5. ( sinh(x) )^2 / ln( cosh(3*x) )
    • ((1+x)^5-(1+5*x))/(x^2+x^5)
  6. (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/(5*x-1)^5
    • ( cos(x*e^x) — cos(x*e^(-x)) )/x^3
    • +oo
    • (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/(5*x-1)^5
  7. ( cos(x*e^x) — cos(x*e^(-x)) )/x^3
  8. 1
  9. +oo
  10. ((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
  11. +oo

Раскрытие неопределенностей

Раскрыть неопределенность можно:

  • Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).
  • С помощью замечательных пределов;
  • С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др.

    );

  • С помощью правила Лопиталя;

Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

Неопределенность Метод раскрытия неопределенности 1. Деление 0 на 0 Преобразование и последующее упрощение выражения.

Если выражение имеет вид sin(kx)kx или kxsin(kx) то нужно использовать первый замечательный предел.

Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений 2. Деление бесконечности на бесконечность Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя 3.

Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями Преобразование в 00 или ∞∞ с последующим применением правила Лопиталя 4.

Единица в степени бесконечности Использование второго замечательного предела 5.

Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень Логарифмирование выражения с применением равенства limx→x0ln(f(x))=lnlimx→x0f(x) Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает. Вычислите предел limx→1×3+3x-1×5+3.

Решение Выполняем подстановку значений и получаем ответ. limx→1×3+3x-1×5+3=13+3·1-115+3=34=32 Ответ: limx→1×3+3x-1×5+3=32. Вычислите предел limx→0(x2+2,5)1×2.

Решение У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставитьx=0. (x2+2,5)x=0=02+2,5=2,5 Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение: limx→0(x2+2,5)1×2=limx→02,51×2 Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1×2=x-2.

Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞ и limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞ Таким образом, можно записать, что limx→0(x2+2,5)1×2=limx→02,51×2=2,5+∞. Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0, и получаем: limx→0(x2+2,5)1×2=limx→02,51×2=2,5+∞=+∞ Ответ: limx→0(x2+2,5)1×2=+∞. Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования.

На практике выполнять это приходится довольно часто. Вычислите предел limx→1×2-1x-1.

Решение Выполняем подстановку значений. limx→1×2-1x-1=12-11-1=00 В итоге у нас получилась неопределенность.

Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

limx→1×2-1x-1=00=limx→1(x-1)·(x+1)x-1==limx→1(x-1)·(x+1)·(x+1)x-1=limx→1(x+1)·x-1==1+1·1-1=2·0=0 Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности. Ответ: limx→1×2-1x-1=0 Вычислите предел limx→3x-312-x-6+x.

Решение Подставляем значение и получаем запись следующего вида. limx→3x-312-x-6+x=3-312-3-6+3=09-9=00 Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью.

Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения.

Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12-x+6+x: limx→3x-312-x-6+x=00=limx→3x-312-x+6+x12-x-6+x12-x+6+x Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение. limx→3x-312-x+6+x12-x-6+x12-x+6+x=limx→3x-312-x+6+x12-x2-6+x2=limx→3(x-3)12-x+6+x12-x-(6+x)==limx→3(x-3)12-x+6+x6-2x=limx→3(x-3)12-x+6+x-2(x-3)==limx→312-x+6+x-2=12-3+6+3-2=9+9-2=-9=-3 Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: limx→3x-312-x-6+x=-3. Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

Вычислите предел limx→1×2+2x-33×2-5x+2. Решение Выполняем подстановку.

limx→1×2+2x-33×2-5x+2=12+2·1-33·12-5·1+2=00 В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения.

Поскольку при значении x, равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0, то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х-1,и тогда неопределенность исчезнет.

Выполняем разложение числителя на множители: x2+2x-3=0D=22-4·1·(-3)=16⇒x1=-2-162=-3×2=-2+162=1⇒x2+2x-3=x+3x-1 Теперь делаем то же самое со знаменателем: 3×2-5x+2=0D=-52-4·3·2=1⇒x1=5-12·3=23×2=5+12·3=1⇒3×2-5x+3=3x-23x-1 Мы получили предел следующего вида: limx→1×2+2x-33×2-5x+2=00=limx→1x+3·x-13·x-23·x-1==limx→1x+33·x-23=1+33·1-23=4 Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: limx→1×2+2x-33×2-5x+2=4.

Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений.

Если показатели этих выражений будут больше 0, то предел на бесконечности также окажется бесконечным.

При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать. Например, limx→∞(x4+2×3-6)=limx→∞x4=∞ или limx→∞x4+4×3+21×2-115=limx→∞x45=∞.

Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x→∞ у нас возникает неопределенность вида ∞∞. Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на xmax(m,n). Приведем пример решения подобной задачи.

Вычислите предел limx→∞x7+2×5-43×7+12.

Решение limx→∞x7+2×5-43×7+12=∞∞ Степени числителя и знаменателя равны 7. Делим их на x7 и получаем: limx→∞x7+2×5-43×7+12=limx→∞x7+2×5-4x73x7+12×7==limx→∞1+2×2-4×73+12×7=1+2∞2-4∞73+12∞7=1+0-03+0=13 Ответ: limx→∞x7+2×5-43×7+12=13. Вычислите предел limx→∞x8+113×2+x+1.

Решение limx→∞x8+113×2+x+1=∞∞ Числитель имеет степень 83, а знаменатель 2.

Выполним деление числителя и знаменателя на x83: limx→∞x8+113×2+x+1=∞∞=limx→∞x8+113x83x2+x+1×83==limx→∞1+11x831x23+1×53+1×83=1+11∞31∞+1∞+1∞=1+030+0+0=10=∞ Ответ: limx→∞x8+113×2+x+1=∞. Вычислите предел limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123.

Решение limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123=∞∞ У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 103.

Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x103: limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123=∞∞=limx→∞x3+2×2-1x103x10+56×7+123×103==limx→∞1×13+2×43-1×1031+56×3+12×103=1∞+2∞-1∞1+56∞+12∞3=0+0-01+0+03=0 Ответ: limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123=0.

Метод решения

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов функций является использование правила Лопиталя. Оно позволяет раскрывать неопределенности вида 0/0 или ∞/∞ в конечной или бесконечно удаленной точке, которую мы обозначим как x0.

Правило Лопиталя заключается в том, что мы находим производные числителя и знаменателя дроби. Если существует предел , то существует равный ему предел .

Если после дифференцирования мы опять получаем неопределенность, то процесс можно повторить, то есть применить правило Лопиталя уже к пределу . И так далее, до раскрытия неопределенности. Для применения этого правила, должна существовать такая проколотая окрестность точки x0, на которой функции в числителе и знаменателе являются дифференцируемыми и функция в знаменателе и ее производная не обращается в нуль.

Применение правила Лопиталя состоит из следующих шагов. 1) Приводим неопределенность к виду 0/0 или ∞/∞. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем .

В результате получаем предел вида . 2) Убеждаемся, что существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функции в числителе и знаменателе являются дифференцируемыми и знаменатель и его производная не обращаются в нуль.

3) Находим производные числителя и знаменателя. 4) Если имеется конечный или бесконечный предел , то задача решена: . 5) Если предела не существует, то это не означает, что не существует исходного предела.

Это означает, что данную задачу решить с помощью правила Лопиталя нельзя. Нужно применить другой метод (см.

пример ниже). 6) Если в пределе вновь возникает неопределенность, то к нему также можно применить правило Лопиталя, начиная с пункта 2). Как указывалось выше, применение правила Лопиталя может привести к функции, предела которой не существует.

Однако это не означает, что не существует исходного предела. Рассмотрим следующий пример. .

Применяем правило Лопиталя. , . Однако предела не существует. Не смотря на это, исходная функция имеет предел: .

Сравнение функций. О большое и о малое

Говорят, что функция f ограничена относительно функции g при x → x0, пишут при , если функции f и g определены на некоторой и существует такое число C, что на этой окрестности выполняется неравенство: .

Здесь . Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней.

В последнем случае пишут или .

Функции f и g называются функциями одного порядка при , пишут при , если и при .

Функция α называется бесконечно малой по сравнению с функцией f при , пишут при , если на некоторой проколотой окрестности точки , при , причем .

Последние новости по теме статьи

Важно знать!
  • В связи с частыми изменениями в законодательстве информация порой устаревает быстрее, чем мы успеваем ее обновлять на сайте.
  • Все случаи очень индивидуальны и зависят от множества факторов.
  • Знание базовых основ желательно, но не гарантирует решение именно вашей проблемы.

Поэтому, для вас работают бесплатные эксперты-консультанты!

Расскажите о вашей проблеме, и мы поможем ее решить! Задайте вопрос прямо сейчас!

  • Анонимно
  • Профессионально

Задайте вопрос нашему юристу!

Расскажите о вашей проблеме и мы поможем ее решить!

+